Proporción Áurea, serie de Fibonacci, fractales y redes neuronales

Oct 20, 2011   //   by oa.usun   //   S.Expertos  //  7 Comments

La proporción Áurea cuenta con una larga tradición en la cultura occidental. También llamada sección áurea, proporción divina o número áureo, en realidad se trata de un principio simple, aunque al mismo tiempo enigmático, que se repite hasta el infinito en la naturaleza, el arte y la ciencia. Podemos observar la proporción áurea en la disposición de las semillas en ciertas plantas, en el árbol genealógico de las abejas, en las pirámides, en catedrales góticas, en obras artísticas del Renacimiento, en el cuerpo humano o en conchas, por mencionar solamente algunos de los casos incontables en que se observa este fenómeno.

Los matemáticos lo llaman, el número de oro, número dorado, sección áurea, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción, representado por la letra griega Φ (phi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional 1,6180339 … Su historia se remonta a los cálculos que aparecen en tablillas babilónicas y continúa hoy en los fractales de nuestra era digitalizada. Sin embargo, esto solo permite describir de modo muy superficial la singularidad y belleza de esta proporción que rige la naturaleza y sirve desde hace 2.500 años de hilo conductor estético en el arte y la arquitectura.

Da Vinci hizo las ilustraciones para una disertación publicada por Luca Pacioli en 1509 titulada De Divina Proportione, quizás la referencia más temprana en la literatura a otro de sus nombres, el de “Divina Proporción”. Este libro contiene los dibujos hechos por Leonardo da Vinci de los cinco sólidos platónicos. Es probable que fuera Leonardo quien diera por primera vez el nombre de sectio áurea.

Los artistas de Renacimiento utilizaron la sección áurea en múltiples ocasiones tanto en pintura, escultura como arquitectura para lograr el equilibrio y la belleza. Leonardo da Vinci, por ejemplo, la utilizó para definir todas las proporciones fundamentales en su pintura La última cena, desde las dimensiones de la mesa, hasta la disposición de Cristo y los discípulos sentados, así como las proporciones de las paredes y ventanas al fondo.

Leonardo da Vinci, en su cuadro dela Gioconda(o Mona Lisa) utilizó rectángulos áureos para plasmar el rostro de Mona Lisa. Se pueden localizar muchos detalles de su rostro, empezando porque el mismo rostro se encuadra en un rectángulo áureo.

La sección áurea en el arte:

Relaciones arquitectónicas en las Pirámides de Egipto.

La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C.).

En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.

El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Da Vinci, entre otros.

Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci.

En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussý (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras).

Arte Póvera, movimiento artístico italiano de los años 1960, muchas de cuyas obras están basadas en esta sucesión de Fibonacci.

En la cinta de Darren Aronofsky Pi, el orden del caos el personaje central, Max Cohen, explica la relación que hay entre los números de Fibonacci y la sección áurea, aunque denominándola incorrectamente como Theta (θ) en vez de phi (Φ).

Si se indaga más en los detalles, y según el propio Leonardo de Pisa Fibonacci, en su Libro de los ábacos, la secuencia puede ayudar a calcular casi perfectamente el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad).

La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.

La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol (no sólo del nautilus).

La relación entre los lados de un pentáculo.

La relación entre los lados de un pentágono.

La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).

La distribución de las hojas en un tallo.

La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles.

La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior).

La distancia entre las espirales de una piña.

Los patrones matemáticos dirigen muchas formas de la naturaleza, hay numerosos ejemplos de sistemas en forma de fractales, sucesiones de Fibonacci, patrones que siguen el número áureo y que dan lugar a formas muy bellas.

En 1654 Pascal y Fermat elaboraron su teoría de la probabilidad y así nació el cálculo de probabilidades como nueva rama de la matemática. Pascal pasó mucho tiempo estudiando el triángulo que ahora se denomina “triangulo de Pascal” y que constituye la base de determinadas propiedades peculiares de la probabilidad. Pascal no era consciente de que en el triangulo aparecen los números de Fibonacci.

A lo largo de los siglos, la ciencia matemática ha creado con los números un sistema destinado a descifrar el caos del mundo y a ordenarlo, captando datos empíricos sobre el universo y la propia humanidad.

La Anatomía de los humanos se basa en una relación Phi exacta, así vemos que:

– La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.

– La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.

– La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.

– La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es phi.

– La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz.

– Es phi la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar

– Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se obtiene phi, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas).

– Está comprobado que la mayor cantidad de números phi en el cuerpo y el rostro hacen que la mayoría de las personas reconozcan a esos individuos como proporcionados y son considerados como canon de belleza.

El siguiente vídeo es muy recomendable: Nature by Numbers

¿Pero que tiene que ver esta serie con la Inteligencia Artificial? 

En principio, parecería que nada, pero ahondando un poco, existen ciertas relaciones. Por ejemplo, en estudios de comportamiento en Bolsa, se utiliza la serie Fibonacci como uno de los pilares en la predicción de patrones de comportamiento humanos y de series temporales en la bolsa.  ¿Cómo se hace? Pues, básicamente, superponiendo a las seres bursátiles una foto de la espiral de fibonacci, y aquellos puntos en los que se cruzan, son puntos sensibles de analizar con la hipótesis que son puntos de inflexión sobre la misma, que los patrones se repiten en dichos puntos.

En los años 30, después de la gran depresión americana, Ralph Nelson Elliott descubrió que la situación anímica de una gran cantidad de operadores afectaba al precio de los valores. Por medio del análisis de patrones llego a la conclusión de que cada patrón era parte de otro patrón o molde superior, el cual estaba dividido en patrones inferiores. En el grafico siguiente vemos en patrón básico de una onda de Elliot.

Como vemos en el gráfico y como postula Elliott en su teoría, los valores se mueven en cinco patrones u ondas en la misma dirección que la tendencia principal, y en tres ondas en la dirección contraria a la tendencia principal. Las primeras ondas se denominan impulsivas, y las segundas correctivas. Este patrón de ocho ondas corresponde a un patrón superior, y cada onda de este patrón contiene a su vez ocho ondas. Para ver mejor este fenómeno observemos el siguiente grafico:

En él se pueden observar como hay dos ondas principales (1 y 2), que a su vez están compuestas por ocho ondas más ((1),(2),(3),(4),(5),(A),(B),(C)). En estas ondas podemos ver el modelo anterior compuesto por 5 ondas impulsivas (alcistas) y tres ondas correctivas (bajistas).En total se subdividen en 34 ondas.

Si intentamos buscar una relación entre los números de Fibonacci comprobaremos que la proporción se acerca a 1,618, o a lo que es lo mismo, su inverso 0,618. Cuanto más alto sean los números más se acercarán a esta proporción. (http://www.negomobile.es/sites/default/files/data/proyectos/GESCAVAL/DOC_Gescaval_IA.pdf)

Pero además, existen otras aplicaciones, como las búsquedas de soluciones. En post anteriores, hamos hablado de Algoritmos Genéticos, que, al final, no son más que algoritmos avanzados de búsquedas con el objetivo de minimizar los reultados engañosos o “mínimos locales”.

La solución a un problema se puede representar como la búsqueda de un cierto punto en un espacio de dos simensiones con muchos puntos, y normalmente, las búsquedas lineales, lo que hacen es recorrer punto por punto hasta encontrar uno adecuado. Pero, y si,  en vez de buscar en base a líneas, ¿buscamos en base a espirales? Pues encontraremos en un menor lapso de tiempo los puntos adecuados, ya que nos movemos por el espacio bidimensional de una forma ordenada pero con patrones extendidos. En técnicas de búsqueda de personas u objetos perdidos, es lo que se denomina búsqueda compacta. ¿Por qué no aplicarlo a las búsqueda de soluciones en entornos digitales?

Pero además, en el departamento de IA de Ibermática, estamos convencidos de que la representación del conocimiento sigue este tipo de patrones, como una parte más de un conjunto universal de estructuras y estamos trabajando en demostrar que sistemas basados en estas métricas mejoran los procedimientos actuales de resolución de procesos en distintos contextos.

Un ejemplo, el cerebro. Podemos relacionar la sucesión de números de Fibonacci con las neuronas cerebrales:

“Si hace 15 años le hubiéramos preguntado a un neurocientífico cómo se comunican las neuronas de nuestro cerebro nos habría respondido: Un impulso eléctrico viaja a lo largo de la neurona, y cuando llega a su final libera señales químicas para comunicarse con la siguiente.  Revolución: añadid las ondas cerebrales como una nueva manera de coordinar a distancia diferentes partes del cerebro.”

(http://lacomunidad.elpais.com/apuntes-cientificos-desde-el-mit/2010/10/16/tus-neuronas-se-comunican-con-senales-electricas-quimicas-y)

Donde la proporción de ondas theta y gamma sigue secuencias de la serie de Fibonacci usada en la proporción áurea.

Pero además, hasta ahora, no se comprendía porqué, el cerebro, y sus estrucuturas naturales, eran capaces de procesar tanta información en tan poco tiempo, con una velocidad bastante inferior a la de los procesadores digitales actuales.  El cerebro es paralelo por completo, con gran cantidad de elementos procesadores (en torno a 10exp12) que están altamente interconectados (hasta 10.000 conexiones por neurona). Sin embargo, el tiempo de procesamiento es lento – de mili segundos. Ademas, existen organismos unicelulares, como el Protozoo Paramecium, que nadan, encuentran comida, se relacionan aprenden y recuerdan sin necesidad de sinapsis. (Sherrington, 1957).

Entonces, ¿cómo es posible que se den razonamientos, y en tan poco tiempo?

Recientemente, se ha descubierto que, además de la sinapsis y las estructuras neuronales,  (las que, por cierto, no pueden ser tan estructuradas con las artificiales, pero de eso hablaré en otro “post”),  existen unas estructuras denominadas “microtubos”, que, al parecer, regulan el comportamiento celular, de los protozoos e incluso de la sinapsis neuronal.  (Hameroff y Watt, 1982; Hameroff, 1987)

Es decir, cada neurona contiene una estructura “microtubular” compuesta por polímeros “autoensamblados”  en base a la proteina tubulina, formando cilindros con celosías hexagonales en las que se cruzan los filamentos emparejados según la serie de Fibonacci, en simetría helicoidal.  Estas estructuras se convierten en “automatas moleculares” , de la siguiente forma:

10 tubulinas en cada neurona oscilando en un rango de  10valores por segundo (por ejemplo, Pokorny 8 MHz) ofrece una capacidad de información en el nivel de los microtúbulos de 1015 operaciones por segundo por cada neurona. Esta capacidad de proceso en una única célula es similar a las estimaciones para el procesamiento de la información a nivel de las neuronas y las sinapsis, pero para todo el cerebro (1011 neuronas, sinapsis por neurona 10, 10transmisiones por sinapsis por segundo =  1016 operaciones por segundo). La capacidad total del cerebro cuando se toman al nivel de los microtúbulos (en 1011 Neuronas) podrían ser potencialmente 1026 operaciones por segundo.

Estas estructuras , dentro de cada neurona,  son capaces de modificar su “mapa interno” en base a los “inputs” de otras neuronas, convirtiendo de repente a cada una de estas neuronas, en un principio, sencillas, en un potente computador cuasi-cuántico, y explicando de esta forma, la rapidez del procesamiento cerebral. Y la estructura que “almacena” cada uno de los n-estados posibles es una jerarquía en forma de hélice de Fibonacci. Interesante…..

A pesar de disponer de herramientas y lenguajes de programación diseñados expresamente para el desarrollo de máquinas inteligentes, existe un enorme problema que limita los resultados que se pueden obtener: estas máquinas se implementan sobre computadoras basadas en la filosofía de Von Neumann, y que se apoyan en una descripción secuencial del proceso de tratamiento de la información. Si bien el desarrollo de estas computadoras es espectacular, no deja de seguir la línea antes expuesta: una máquina que es capaz de realizar tareas mecánicas de forma increíblemente rápida, como por ejemplo cálculo, ordenación o control, pero incapaz de obtener resultados aceptables cuando se trata de tareas como reconocimiento de formas, voz, etc.

Quizás, el futuro de la nuevas máquinas de aprendizaje pasen por imitar a la naturaleza, comenzando por sus propias estructuras físicas….

Oscar Alonso / Aitor Moreno

7 Comments

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  • Enhorabuena por la entrada, gran trabajo, muy completo y sobre temas que me interesan mucho, ha sido un gusto leerlo 🙂
    Un saludo !
    http://redabstracta.blogspot.com.es/